2阶对称矩阵为什么能对角化

对称矩阵一定能相似对角化,反过来,是不是对角矩阵只能与对称矩阵相似...

1、充分条件：如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。

2、是的。P^-1AP = diag，则 A = PdiagP^-1，由于P正交，所以P^-1=P^T，所以 A = PdiagP^T，所以 A^T = （PdiagP^T）^T = PdiagP^T = A，两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

3、因为实际上对称矩阵相似于由其特征值构成的对角矩阵，所以实对称矩阵的特征值相同时，它们相似于同一个对角矩阵，由相似的传递性知它们相似，一般矩阵不一定可对角化。

4、这个矩阵就无法对角化，因为只有两个线性无关的特征向量，根据可对角化的充分必要条件，对于n阶矩阵A，必须有n个线性无关的特征向量才可对角化。对角元是特征值不用单独证明，相似矩阵有相同的特征值，而对角阵的特征值就是对角元。角阵不是唯一的。可以把对角元的次序随意交换，都与原矩阵是相似的。

5、对角化是广义的，只是把矩阵化为对角形的矩阵而已，对对角元的取值不作要求（不要求其全不为零）。从这个意义上讲对称矩阵一定能相似对角化这是没错的。

6、实反对称矩阵特征值一定是0或纯虚数，实反对称矩阵一定相似与准对角矩阵，但要证明相似与对角矩阵则需要用到酉空间的理论，似乎不在你们学的线性代数知识范围内。

如何证明实对称矩阵一定可以对角化?

1、综上所述，由于实对称矩阵具有实数特征值、线性无关的特征向量以及特征向量的正交性等性质，因此实对称矩阵一定可以对角化。这种对角化不仅简化了矩阵运算，还为理解和应用矩阵提供了重要。

2、首先考虑最简单的情况，即一个2x2的实对称矩阵，显然它总是可以对角化的。假设对于n-1阶实对称矩阵，我们已经证明了它们可以正交对角化。现在考虑n阶实对称矩阵A，根据谱定理，A必定有一个n维的特征向量空间。选取一个特征向量x，满足Ax=cx，xx=1。

3、总结：实对称矩阵因其特征值为实数且特征向量正交且个数足够，满足了矩阵可对角化的条件，因此一定可以相似对角化。

4、因为实际上对称矩阵相似于由其特征值构成的对角矩阵，所以实对称矩阵的特征值相同时，它们相似于同一个对角矩阵，由相似的传递性知它们相似，一般矩阵不一定可对角化。