证明矩阵为什么阵

为什么正定矩阵一定是对称阵?

这说明AB是对称阵 再利用AB的特征值都是正数（因为AB相似于对称正定阵A^{1/2}BA^{1/2}）得到AB对称正定。

在数学中，断一个矩阵是否为正定矩阵的前提条件之一是这个矩阵必须是实对称矩阵。这是因为正定矩阵的定义本身要求它具备实对称性。首先，从广义定义来看，设M为n阶方阵，如果对于任意非零向量z，有zTMz大于0，其中zT表示向量z的转置，那么M就被定义为正定矩阵。

正定矩阵的一个重要特性就是它必然为实对称矩阵。这是因为正定矩阵的定义本身就包含了实对称的要求。要证明这一点，我们可以从正定矩阵的两个定义入手。

如何证明一个矩阵是0矩阵?

假设A矩阵是一个3阶的实对称矩阵，如果我们知道A的平方是一个0矩阵那么如何证明A矩阵是0矩阵。最笨的办法就是将A的每个元素假设出来再进行组合得到新的矩阵。设A的元素为a1，a2，a3向量组。

现在，我们要证明矩阵A为零矩阵，即证明A的每一行都是零向量，且每一列都是零向量。证明A的每一行都是零向量：对于矩阵A的第i行ai1，ai2，...，aim，我们需要证明ai1=ai2=...=aim=0。假设ai1≠0，那么ai1可以看作是一个非零常数乘以第i行的向量ei。

条件相当于对任意的可逆矩阵Q，有Q^（-1）AQ=A，即AQ＝QA，令Q为非奇异的对角阵，可证得A只能是对角元全相等的对角阵，因此A是数量阵。当r（A）=n-2时，最高阶非零子式的阶数=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

根据矩阵乘法计算可知AB= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 即AB=0矩阵成立 但是A和B都不是0矩阵，因为A和B都有非0的元素。所以A选项不对。而对于方阵而言，有|AB|=|A||B|成立 即AB的行列式等于A的行列式乘B的行列式。

断矩阵值为0的方法：有全是0元素的行（或列），有两行（或列）元素对应相同，有两行（或列）对应元素成比例，只有方阵矩阵是这样断其值。在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

设矩阵a是n×n阶实对称矩阵，且a的平方等于0，证明a=0 设a=[aij]，其中i，j=1，2，。。，n 令c=a^2=a×a，依据矩阵乘法法则，c中主对角线上元素cii就是a的第i行和a第i列元素对应相乘再相加所得。其中i=1，2，。。