上下同阶如何求极限

求极限的问题

在解析大一高等数学中的求极限问题时，我们首先来看一道经典的题目：求解极限 lim（n→∞）cos （nπ/2）/n。这个问题的关键在于理解当 n 趋向于无穷大时，分母 n 的增长速度远远超过了分子的振荡幅度。因此，整个表达式的值会趋向于0，即 lim（n→∞）cos （nπ/2）/n = 0。

极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

原式 =limx-0 [1/（x+1）]/1 =limx-0 1/（x+1）=1 用定义求。记f（x）=ln（x+1），则f（0）=0，且f（0）存在。

/0型约趋零因子法 当趋近值带入分子和分母后，满足0/0型时，要先进行化简，然后使得式子有意义时，即可带入趋近值进行计算。最高次幂法（无穷小分出法）在解决这一类问题时，要注意找趋近于零的式子，也就是我们所说的无穷小量。

求极限最常见的三种错误求法包括：随便拆分极限 错误描述：在求解极限时，错误地将一个复杂的极限表达式拆分成几个简单的极限表达式的和或差。这种拆分在没有确保每个拆分后的极限都存在的情况下是不允许的。

若分母趋近于∞，分子趋近于0或有限值，则极限为0。

利用泰勒公式求极限时,如何确定泰勒公式展开到第几阶?

1、在使用泰勒公式求极限时，确定展开的阶数是一个关键步骤。通常，我们只需展开到能够忽略的高阶无穷小为止。例如，如果分母包含x2，那么分子在计算极限时可以展开到x2，并用o（x2）表示更高阶的项。这是因为这些高阶无穷小在x趋于0时会趋于零，不会影响最终的计算结果。

2、实例解析：例1：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x^2} 分析：分子 $e^x - 1$ 可以用泰勒展开，考虑到 $e^x$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开为 $1 + x + \frac{x^2}{2！} + \cdots$，则分子展开到 $x^2$。

3、没有固定的规则，求极限时需根据具体题目来决定需要展开的泰勒级数阶数。一般情况下，分子分母进行麦克劳林级数展开后，只需展开至第一个未被抵消的最低阶无穷小。所谓无穷小，即在极限过程中趋近于零的量。如果题目中没有出现分子分母的不定式，而是涉及到幂次或指数运算，只需关注最低阶的无穷小即可。

4、通常，需要观察求极限的函数的分子与分母，如果只需要展开分子，那应该不低于分母的最高次幂。反之亦然。如果分子与分母都需要展开，这种情形一般会有部分项跟其他加减关系的函数可能有抵消，那就展开到分子分母可比较为止。泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。

5、分子的后面部分是x-x^2，既然只有二次方，那么前面的e^x*sinx中只要出现x^3就可以了，也许x^2项还抵消不了呢，所以把e^x与sinx展开到三阶，相乘即可。

上下不同阶怎么求极限

1、因此，我们可以确定这个函数的上极限为1，下极限为-1。考虑一个具体的函数f（x） = sin（x） / x，当x趋近于0时，直接求解f（x）的极限会遇到困难，因为分子sin（x）趋近于0，而分母x也趋近于0，这种形式被称为“0/0”型不定式。但通过构造特定的整序序列xn，我们可以找到部分极限。

2、在数学分析中，等价无穷小是求极限时常用的技巧。等价无穷小的定义是，当x趋向于某个值时，两个函数的比值趋向于1。根据阶数的不同，等价无穷小分为一阶、二阶、三阶和四阶等。一阶等价无穷小的公式是：sinx ≈ x， 当x趋向于0时。这意味着sinx和x在x趋向于0时的行为几乎相同。

3、同阶无穷小：如果 ，且c是一个不等于1的常数，则A与B是同阶无穷小。这表示虽然A和B趋向于0的速度不完全相同，但它们的阶数是相同的。需要注意的是，这里的“同阶”并不等同于“等价”，因为等价无穷小的极限必须是1。

4、低阶无穷大：若lim f（x）=∞且lim g（x）=∞（f（x）在极限附近处必须满足f（x）不等于0），当lim [f（x）/g（x）]=0，称f（x）是g（x）的低阶无穷大。