实变函数：聚点，内点，界点联系区别

实变函数闭集充要条件

1、实变函数闭集充要条件包含所有聚点的是闭集。由于收敛点列｛xn｝收敛域x0，那么x0是闭集F的聚点，当然属于F。这个是点集拓扑的内容，用到泛函这而已。连续映射的定义是，开集的原像是开集，取个补稍微推一下即可。

2、$是完全集，因为其聚点集就是其本身。实变函数重要定理闭集定定理：$E$是闭集的充分必要条件是$E subt E$，即$E$包含其所有聚点。E$是闭集的充分必要条件是$bar{E} = E$，即$E$的闭包等于其本身。E$是闭集的充分必要条件是对$E$中任一收敛点列必收敛于$E$中的一点。

3、首先单点集是闭集，证明如下：设S={a}，它没有聚点，所以导集为空集，从而导集包含于S，按定义，它是闭集。其次，有限个闭集的并集还是闭集，从而命题得证。当然，如果对第二个结论不熟，那么也可以直接用定义证明。

4、在实变函数理论中，开集是一个关键概念。如果S中的每一个点都是其内部的一部分，也就是说，对于S中的任意一点x，总存在一个以x为中心的某个正实数ε，使得S包含所有到x的距离小于ε的点，那么S就是开集。

5、∴x∈E，即E是闭集，E={x|f（x）≤c}时同理 充分性：考虑任意一点t∈[a，b]，则对任意ε0 A={x∈[a，b]：f（t）-εf（x）f（t）+ε} ={x∈[a，b]：f（x）≥f（t）+ε}的补集∩{x∈[a，b]：f（x）≤f（t）-ε}的补集 即A为两个开集的交，所以A为开集。

6、如果我们记E的所有内点为intE的话，则开集是EintE，我们记E的所有聚点组成的为E，则闭集是E’E.举几个例子：空集、全集既是开集又是闭集，单调集、有限个单点集的并是闭集，因为它没有聚点，所以当然成立，关于开闭集的交并关系，可查阅有关书籍。

如何通俗地理解聚点孤立点?

1、聚点、孤立点、内点、外点的通俗理解如下：聚点：可以理解为“有聚集感的点”。情况1（内点型聚点）：像生活在美国本土的美国人，周围全是同类（美国人），完全属于内部。这种点既是聚点，也是内点。情况2（边界型聚点）：像守边关的美国人，一半是自己人（美国人），一半是外国人。

2、通俗地理解聚点是聚合在一起的点，而孤立点这是脱离了组织的点。根据定义，一个点集的孤立点是属于该的，但是它存在一个去心邻域，其内不含这个的点。你可以在二维平面上想象一个大大的圆，它外面还有一个离得很远点，它们共同组成了这个。

3、理解聚点和孤立点需要从点与的关系入手。考虑一个给定拓扑空间X中A的任意一点x。首先，x与A的关系分为三种情况：存在x的开邻域完全包含于A，我们称x为A的内点。这些点组成了A的内部。存在x的开邻域完全位于A之外，我们称x为A的外点。这些点构成A的外部。