为什么引出复平面

引出复平面的主要原因是为了解决在普通平面坐标系中无法解决的问题，特别是当涉及到负数开偶次方根的问题时。为了解决这个问题，数学家引入了虚数的概念，从而构成了复平面坐标系。

具体来说，复平面是由实数轴和虚数轴构成的二维平面。在这个平面上，任何一个复数都可以用一个点表示，其中实部代表横坐标，虚部代表纵坐标。这种表示方法使得我们可以通过几何的方式更直观地理解复数的性质。对于初学者来说，掌握复平面的基本概念是深入学习复数运算和复杂分析的基础。

复平面的引入有以下几个关键点：

解决负数开偶次方根的问题 ：在普通平面坐标系中，负数开偶次方根是无解的，因为实数范围内没有数的平方是负数。为了解决这个问题，数学家引入了虚数单位 $i$，使得 $i^2 = -1$，从而可以在复平面上表示负数的平方根。

几何直观性 ：复平面通过将复数表示为点，使得复数的加、减、乘、除等运算可以通过几何图形进行直观理解。例如，复数的加法可以通过平行四边形法则或向量相加来实现，乘法则可以通过旋转和缩放来实现。

便于分析和计算 ：复平面上的点可以方便地进行代数运算，并且可以通过几何直观来理解复数的性质。例如，复数的共轭、模长、辐角等都可以通过几何图形来表示和计算。

广泛应用 ：复平面不仅在数学中有广泛应用，还在物理、工程、计算机科学等领域中发挥着重要作用。例如，在量子力学中，波函数通常表示为复数，复平面上的点用于表示波函数的振幅和相位。

综上所述，复平面的引入是为了解决在实数范围内无法解决的问题，并通过几何直观性、便于分析和计算以及广泛应用等方面，成为理解和操作复数的重要工具。